Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.
Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2²
= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)
2. X1³ + X2³
= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)
3. X14 + X24
= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²
4. X1²X2 + X1X2²
= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)
5. 1/X1 + 1/X2
= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c
6. X1/X2 + X2/X1
= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2
7. (X1-X2)²
= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²
8. X1² - X1²
= (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)

Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)
dengan
Kuadrat Jumlah (X1+X2)²

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel;  a,b,c konstanta ; a ¹ 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
  1. Memfaktorkan

    a    x² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
    ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a

    dengan p.q = a.c dan p + q = b
  2. Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q² ® x + p = ± q
    x1 = q - p dan x2 = - q - p
  3. Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

    bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
    sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a
Menyusun Persamaan Kuadrat
KEDUA AKARNYA KUADRAT
Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0
2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0
 
KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI
Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui
  1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

    Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

    Langkah:

    Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

    Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

  2. Hubungan beraturan (hal khusus)
Akar-akar baru
Hubungan
PK Baru
p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)
y = X + p
® X = y-p
a(y-p)² + b(y-p) + c =0
p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)
y = X - p
® X = y + p
a(y+p)² + b(y+p) + c = 0
p kali
pX1 dan pX2
y = pX
® X = y/p
a(y/p)²+b(y/p)+c=0
 
kebalikannya
1/X1 dan 1/X2
y=1/X
X= 1/y
a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0
kuadratnya
X1² dan X2²
y = X²
® X = Öy
a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0
Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.
Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a
didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a
X1.X2 = c/a
X1 - X2 = -d/a
Perluasan Untuk Akar-Akar Nyata
  1. Kedua akar nyata berlawanan

    Maksudnya : X1 = -X2

    syarat :  D > 0
                 X1 + X2 = 0 ® b = 0

    Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0

  2. Kedua akar nyata      berkebalikan

    Maksudnya : X1 = 1/X2

    syarat : D ³ 0
                X1 . X2 = 1 ® a = c

    Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c

  3. Kedua akar nyata positif

    Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

    syarat : D ³ 0
                X1 + X2 > 0
                X1 . X2 > 0

  4. Kedua akar nyata negatif

    maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

    syarat: D ³ 0
               X1 + X2 < 0
               X1 . X2 > 0

  5. Kedua akar nyata berlainan tanda

    Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

    syarat : D > 0
                X1 . X2 < 0

    Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti

  6. Kedua akar rasional

    Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

    syarat : D = bentuk kuadrat
                D = (0,1,4,9,16,25...)

    Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
  1. D > 0

    x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a

    PK mempunyai dua akar nyata berbeda

  2. D = 0

    x1 = x2 = -b/2a

    PK mempunyai dua akar nyata yang sama

    tt
  3. D < 0

    Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.
syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0