EKSPONEN

EKSPONEN

1. TINJAUAN ULANG SIFAT-SIFAT EKSPONEN

Kita masih ingat bahwa eksponen rasional a^m/n ( a є R dan a > 0, m bilangan bulat, dan n bilangan asli lebih dari 1 ) didefinisikan sebagai berikut :

a^m/n = ( ⁿ√ a )^m = ⁿ√a^m

Sifat- sifat eksponen bilangan real :

Jika a dan b bilangan real positif, serta x dan y bilangan real, maka berlaku hubungan :

1. a^x x a^y = a^x+y
2. ( a x b )^x = a^x x b^x
3. a^x : a^y = a^x-y
4. ( a : b )^x = a^x : b^x
5. ( a^x )^y = a^{x × y}
6. (i) a^-x = 1/ a^x

(ii) a^x = 1/ a^-x

2. FUNGSI EKSPONEN

Definisi :

Fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau basis “a” adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

f : x a^x atau y = f(x) = a^x, a > 0 dan a ≠ 1

disebut fungsi eksponen dengan daerah asal bilangan real.

C. PERSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Persamaan eksponen adalah sebuah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

1. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bulat
1. a^m x aⁿ = a^m+n
2. (a^m)ⁿ = (a)^mn
3. a^m/aⁿ = a^m-n
4. (a x b )ⁿ = aⁿ x bⁿ
5. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

2. Sifat Operasi Bilangan Pangkat Rasional

Jika a,b,c є bilangan real dan m,n,p,q є bilangan bulat positif, maka :

a. a^m/n . a^p/q = a^{m/n + p/q}

b. (a^m/n)^p/q = a^mp/nq

c. a^m/n : a^p/q = a^{m/n – p/q}

d. (ab)^m/n = a^m/n . b^m/n

e. (a/b)^m/n = a^m/n/b^m/n

3. Persamaan Eksponen

Misalkan ada sebuah persamaan f(x) = 2x. Tentukan nilai x apabila f(x) = 8 !

Kita dapat menyelesaikannya dengan membentuk sebuah persamaan f(x) = 2x :

8 = 2^x atau 2^x = 8 atau 2^x = 2³

Persamaan yang memuat bentuk eksponen disebut persamaan eksponen.

Persamaan eksponen dapat berbentuk :

a. a^f(x) = 1

b. a^f(x) = a^p

c. a^f(x) = a^g(x)

d. a^f(x) = b^f(x)

e. a^f(x) = b^g(x)

f. [f(x)]^f(x) = [f(x)]^g(x)

a dan b dinamakan bilangan pokok, a,b > 0 dan a,b ≠ 1.

f(x) dan g(x) adalah sebuah fungsi aljabar.

Persamaan eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat persamaan eksponen. Sebelum mempelajari sifat-sifat tersebut sebaiknya kita tinjau kembali bilangan pangkat nol (a⁰).

Pengertian pangkat nol

Untuk setiap a є bilangan real, maka :

a⁰ = 1

Keterangan : untuk 0⁰ tidak didefinisikan.

4. Sifat – sifat Fungsi Eksponen untuk Menyelesaikan Persamaan Eksponen

1. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x) = 1

Jika a^f(x) = dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = 0

2. Sifat fungsi atau eksponen berbentuk a^f(x) = a^p

Jika a^f(x) = a^p dengan a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = p

3. Sifat fungsi atau persaman eksponen berbentuk a^f(x) = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x) dengan a > 0 dan a ≠1 , makaa f(x) = g(x)

d. Sifat fungsi atau persamaan berbentuk a^f(x) = b^f(x) (a≠b)

Jika a^f(x) = b^f(x) dengan a,b > 0 a,b ≠ 1 serta a ≠ b, maka f(x) = 0

e. Sifat fungsi atau persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b^g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen berbentuk a^f(x) = b^g(x) dengan a,b>0 dan a,b≠1 dapat diselesaikan dengan logaritma, yaiu log :

a^f(x) = log b^g(x) atau f(x) log a = g(x) log b

f. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk [U(x)]^f(x) = [U(x)]^g(x)

Jika [U(x)]^f(x) = [U(x)^g(x)] maka nlai x diperoleh dari :

1. f(x) = g(x)
2. U(x) = 1
3. U(x) = 0, jika nilai x memenuhi syarat f(x) ≥ 0 dan g(x) > 0
4. U(x) = -1, jika nilai x memenuhi syarat f(x) dan g(x) kedua-duanya ganjil atau kedua-duanya genap.

g. Sifat fungsi persamaan eksponen berbentuk A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{a^f(x)}² + B{a^f(x)} + C = 0 (a>0 dan a≠1, A,B, dan C bilangan real dan A≠0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

D. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

Definisi :

Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.

Sifat Fungsi Monoton Naik (a>1)

• Jika a^f(x)≥a^g(x), maka f(x)≥g(x)
• Jika a^f(x)≤a^g(x), maka f(x)≤g(x)

Sifat Fungsi Monoton Turun (0<1)

• Jika a^f(x)≥a^g(x), maka f(x)≤g(x)
• Jika a^f(x)≤a^g(x), maka f(x)≥g(x)

Bentuk Pertidaksamaan Eksponen

Dari fungsi dan persamaan eksponen, kita sekarang akan mempelajari pertidaksamaan eksponen. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama.

a^{f(x )}… a^g(x)

Keterangan :

• a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1
• tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : <, >, ≤, ≥.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

Sederhanakanlah :

1. 25^1/3√6 x 25^1/6√6

Pembahasan :

25^1/3√6 x 25^1/6√6 = 25^{1/3√6 + 1/6√6}

= 25^{½ √6}

= (25^½)^√6

= 5^√6

2. (30³ : 10³) x 3²

Pembahasan :

(30³ : 10³) x 3² = 3³ x 3²

= 3⁵

3. (p⁶ x p^-2)^-0,5

Pembahasan :

(p⁶ x p^-2)^-0,5 = (p^{6 – 2})^-1/2

= p^-2

4. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.

4. 3 ^{x - 4} = 1

Pembahasan :

3^{x - 4} = 1

↔ 3^{x - 4} = 3⁰

↔ x – 4 = 0

↔ x = 4

Hp = {4}

5. 2^{3x – 1} = √^{8 x + 1}

Pembahasan :

2^{3x – 1} = √8^{x + 1}

↔ 2^{3x – 1} = 2^{3x + 3}

↔ 3x – 1 = 3x + 3

↔ .6x – 2 = 3x + 3

↔ 3x = 5

↔ x = 5/3

Hp = {5/3}

6. 2^{3x – 6} = 3^{3x – 6}

Pembahasan :

2^{3x – 6} = 3^{3x – 6}

↔ 3x – 6 = 0

↔ x = 2

Hp = {2}

7. 2 ^{x -2x -15} =1

Pembahasan :

2x² -2x -15 = 1

x² -2x – 15 = 0

(x -5)(x +3) = 0

x₁ = 5 atau x₂ = -3

Hp = {5,-3}

8. 3^{x – 6x + 8} = 5^{x -6x +8}

Pembahasan :

3^{x -6x + 8} = 5 ^{x2 – 6x + 8}

↔ x² – 6x + 8 = 0

↔ (x - 2)(x - 4) = 0

↔ x = 2 atau x = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4}

9. 2^2x -12 . 2^x + 32 = 0

Pembahasan :

2^2x – 12 . 2^x + 32 = 0

(2^x)² – 12 . (2^x) + 32 = 0

Misalkan 2^x = y, maka persamaan (2^x)² – 12 . (2^x) + 32 = 0 dapat dituliskan menjadi

y² – 12y + 32 = 0

↔ (y – 4)(y – 8) = 0

↔ y = 4 atau y = 8

• untuk y = 4, didapat

2^x = 4

↔ 2^x = 2²

↔ x = 2

• untuk y = 8, didapat

2^x = 8

↔ 2^x = 2³

↔ x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,3}

10. 5^{-2x + 2} + 74 . 5^–x – 3 ≥ 0

Pembahasan :

5^{-2x + 2} + 74 .5^–x - 3 ≥ 0

↔ 5²(5^–x)² + 74 . 5^–x -3 ≥ 0

↔ 25{(1/5)^x)² + 74 (1/5)^x – 3 ≥ 0

Misalkan (1/5)^x = y, sehingga pertidaksamaan 25{(1/5)^x}² + 74(1/5)^x - 3 ≥ 0 dapat dinyatakan sebagai 25y² + 74y – 3 ≥ 0.

25y² + 74y – 3 ≥ 0

↔ 25 y² + 75y – y – 3 ≥ 0

↔ 25y(y + 3) – 1(y + 3) ≥ 0

↔ (y + 3)(25y – 1) ≥ 0

↔ y ≤ -3 atau y ≥ 1/25

·         untuk y ≤ -3 :

(1/5)^x ≤ -3, tidak ada nilai x yang memenuhi.

·         Untuk y ≥ 1/25 :

↔ (1/5)^x ≥ 1/25

↔ (1/5)^x ≥ (1/5)²

↔ x ≤ 2

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan 5^{-2x + 2} + 74 . 5^–x – 3 ≥ 0 adalah x ≤ 2

DAFTAR PUSTAKA

Shulthan Habibi, Ravi M. 2005. Pelajaran Matematika Program Studi Ilmu Alam. Sukamaju Depok : Arya Duta

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X11. Jakarta : Erlangga

 

Ketentuan dan Sifat-Sifat Eksponen

KETENTUAN

a^P = a . a . a . a . . . . . . . . . . . . . . . . . sampai p faktor

(a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen)

SIFAT-SIFAT

1. ap . aq = ap + q	5. a0 = 1
2. ap . aq = ap - q	6. a - p = 1/ap
3. (ap)q = apq	7. am/n = nÖ(am)
4. (a.b)p = ap . bp

contoh:

1. 3^pq+q . 3^2p)/(3^pq+p . 3^2q) = (3^pq+q+2p)/(3^pq+p+2q) = 3^p-q
2. (0,0001)^-1 Ö0,04 = (10^-4)^-1(0,2) = (10⁴)(0,2) = 2000
3. (0,5)² + 1/⁵Ö32 + ³Ö0,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25
   [ket : 32 = 2⁵ ; 0,125 = (0,5)³ ]
4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka
   
   2p^-1/2 - 3p⁰ + q^4/3 = 2(2⁴)^-1/2 - 3(2⁴)⁰ + (3³)^4/3
   = 2(2^-2) - 3(1) + 3⁴ = 2^-1 -3(1) + 81
   = 1/2 - 3 + 81 = 78 1/2

Pertidaksamaan Eksponen

Bilangan Pokok a > 0 ¹ 1

Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya
a > 1	0 < a < 1
af(x) > ag(x) ® f(x) > g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) < g(x) (tanda tetap)	af(x) > ag(x) ® f(x) < g(x) af(x) < ag(x) ® f(x) > g(x) (tanda berubah)

Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1.

Misal : 1/8 = (1/2)³ = 2^-3

Contoh:

  (1/2)^2x-5 < (1/4)^(1/2x+1)
(1/2)^2x-5 < (1/2)^2(1/2x+1)

Tanda berubah (0 < a < 1)

2x - 5 > x +2
x > 7

  3^2x - 4.3^x+1 + 27 > 0
(3^x)² - 4.3¹.3^x + 27 > 0
misal : 3^x = p
p² -12p + 27 > 0
(p - 9)(p - 3) > 0

Persamaan Eksponen

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah).

[Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst].

BENTUK-BENTUK

A. a^f(x) = a^g(x) ® f(x) = g(x)

    ® Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan.

contoh :

2 SUKU ® SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI

1. Ö(8^2x-3) = (32^x+1)^1/4
   (2³)^(2x-3)1/2 = (2⁵)^(x+1)1/4
   2^(6x-9)/2 = 2^(5x-5)/4
   (6x-9)/2 = (5x-5)/4
   24x-36 = 10x+10
   14x = 46
   x = 46/14 = 23/7
2. 3^x²-3x+2 + 3^x²-3x = 10
   3².3^x²-3x+3^x²-3x = 10
   9. ^3x²-3x + 3^x²-3x = 10
   10. 3^x²-3x = 10
   3^{x² - 3x} = 3⁰
   x² - 3x = 0
   x(x-3) = 0
   x1 = 0 ; x2 = 3

3 SUKU ® GUNAKAN PEMISALAN

1. 2^{2x + 2} - 2 ^x+2 + 1 = 0
   2².2^2x - 2².2^x + 1 = 0
   Misalkan : 2^x = p
                 2^2x = (2x)² = p²
   4p² -4p + 1 = 0
   (2p-1)² = 0
   2p - 1 = 0
   p =1/2
   2^x = 2^-1
   x = -1
2. 3^x + 3^3-x - 28 = 10
   3x + 3³/3^x - 28 = 10
   misal : 3^x = p
   p + 27/p - 28 = 0
   p² - 28p + 27 = 0
   (p-1)(p-27) = 0
   p1 = 1 ® 3^x = 3⁰
                x1 = 0
   p2 = 27 ® 3^x = 3³
   x2 = 3

B. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) = 0

Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0.

Contoh:

1. 3^x²-x-2 = 7^x²-x-2
   x² - x -2 = 0
   (x-2)(x+1) = 0
   x1 = 2 ; x2 = -1

C. a^f(x) = b^f(x) ® f(x) log a = g(x) log b

Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma.

Contoh:

1. 4^x-1 = 3^x+1
   (x-1)log4 = (x+1)log3
   xlog4 - log4 = x log 3 + log 3
   x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4
   x (log4 - log3) = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x log 4/3 = log 12
   x = log 12/ log 4/3 = ^4/3 log 12

D. f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x)

     ® Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.Tinjau        beberapa kemungkinan.

1. Pangkat sama g(x) = h(x)
2. Bilangan pokok f(x) = 1           ket: 1^g(x) = 1^h(x) = 1
3. Bilangan pokok f(x) = -1
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1 , maka nilai
   pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil.
   
   ket :
   g(x) dan h(x) Genap : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = 1
   g(x) dan h(x) Ganjil : (-1)^g(x) = (-1)^h(x) = -1
4. Bilangan pokok f(x) = 0
   Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif.
   
   ket : g(x) dan h(x) positif ® 0^g(x) = 0^h(x) = 0

Contoh:

(x² + 5x + 5)^3x-2 = (x² + 5x + 5)^2x+3

  Pangkat sama
    3x - 2 = 2x + 3 ® x1 = 5

  Bilangan pokok = 1
x² + 5x + 5 = 1
x² + 5x + 4 = 0 ® (x-1)(x-4) = 0 ® x2 = 1 ; x3 = 4

  Bilangan pokok = -1
x² - 5x + 5 = -1
x² - 5x + 6 = 0 ® (x-2)(x-3) = 0 ® x = 1 ; x = 4

g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 ¹ (-1)7
g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = -1

  Bilangan pokok = 0
x² - 5x + 5 = 0 ® x_5,6 = (5 ± Ö5)/2

kedua-duanya memenuhi syarat, karena :
g(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0
h(2 1/2 ± 1/2 Ö5) > 0

Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah :
HP : { x | x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 Ö5}